六年级上册数学各单元知识点总结之分数乘法，速来学习

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六年级上册数学各单元知识点总结

第一单元分数乘法

（一）分数乘法意义：

分数与整数的乘积运算实质上等同于整数乘法，其核心在于通过简便的方式计算多个相同数值的累加和。在“分数乘以整数”这一运算中，第二个乘数必须是整数，而不得为分数形式。

2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。

在“一个数乘以分数”的运算中，第二个参与计算的数必须是分数，不能是整数（而第一个因数则没有特定的要求）。

（二）分数乘法计算法则：

1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。

在进行计算时，若存在可约分的部分，应先进行约分操作，以便简化计算过程。这里的约分指的是将整数与分母中的最大公因数进行约简。需要注意的是，在约分过程中，整数部分绝对不能与分母相乘，确保计算结果为最简分数形式。

分数相乘的运算规则是，将两个分数的分子相乘得到新的分子，同时将分母相乘得到新的分母。也就是说，分子与分子相乘，分母与分母相乘。

在进行分数乘法运算时，若算式中包含带分数，需先将带分数转换为假分数，然后进行计算。

分数的简化过程涉及将分子和分母各自除以它们的最大公约数。

在乘法运算中，进行简化分数的操作涉及先标记出分子和分母中能够约分的两个数，然后将其划去，并在上方和下方分别标注简化后的数值。确保简化后的分子和分母不再存在公因数，只有这样，所得结果才能是最简分数形式。

分数的性质如下：若对分子和分母同时进行相同的数（非零）的乘法或除法运算，该分数的数值将保持不变。

（三）积与因数的关系：

任何非零数字与一个大于1的数相乘，其结果都会超过那个数字本身。例如，设a为一个数（0不包含在内），b为一个大于1的数，那么它们的乘积a乘以b等于c，此时c必然大于a。

当a不为零时，若b小于1，则a与b的乘积c将小于a本身。在等式a×b=c中，若b小于1，那么c必然小于a。

任何非零数字与数值为1的数相乘，其结果将等于该数字本身。例如，若a与b相乘等于c，即a×b=c，那么当b的值为1时，c的值就等于a。

在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。

（四）分数乘法混合运算

在进行分数的乘法混合运算时，其运算顺序与整数运算保持一致，即先进行乘除运算，然后才是加减运算；若表达式中含有括号，则需优先计算括号内的内容，之后再处理括号外的部分。

整数乘法的规则在分数乘法中同样有效；这些规则能够简化某些计算过程。

乘法交换法则指出，两个数相乘的顺序可以互换，即a与b相乘等于b与a相乘；而乘法结合法则则表明，三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果都是相同的，即(a乘以b)再乘以c等于a乘以(b乘以c)。

乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c

（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。

倒数指的是两个数值间的相互关系，这种关系是相互依存的，二者无法独立存在。一个数若要被称为另一个数的倒数，二者必须相互对应。单独的任何一个数都不能被称为倒数。

确定两个数是否构成倒数关系的关键在于检查它们相乘的结果是否等于“1”。若a与b的乘积等于1，即a×b=1，那么可以断定a和b是彼此的倒数。

3、求倒数的方法：

①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

4、1的倒数是它本身，因为1×1=1

0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。

真分数的倒数转变为假分数，其数值超过1，并且也超过了原真分数的数值。

假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。

（六）分数乘法应用题——用分数乘法解决问题

1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）

已知某个单位量的整体，若要计算其部分量占整体的比例，只需将该单位量与相应的分数相乘即可。

在处理包含分数（即比率）的表述时，我们需要识别出分率所关联的基准量，这个基准量即是单位“1”所代表的数量；同样，如果语句中使用了“占”、“是”或“比”等字样，那么这些字样之后的量便可以视为单位“1”的量。

3、什么是速度？

速度是单位时间内行驶的路程。

速度=路程÷时间  时间=路程÷速度   路程=速度×时间

单位时间涵盖诸如一小时、一分钟、一秒等，其数值均为1的短暂时间段，包括每分钟、每小时以及每秒钟等。

4、求甲比乙多（少）几分之几？

多：（甲-乙）÷乙      少：（乙-甲）÷乙

第二单元位置与方向（二）

1、什么是数对？

数对是由两个数字构成的，它们之间以逗号分隔，并用圆括号包围。括号内的数字从左至右依次代表列数和行数，遵循“列在先，行在后”的顺序。

数对的作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

2、确定物体位置的方法：

首先确定观测位置，接着测定方位（观察方向角度的大小），最后测量出距离（参照比例尺）。

描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。

在描述两地之间的位置关系时，由于观测点的不同，所叙述的位置方向会呈现相反的状态，然而，所涉及的度数和实际距离却是完全一致的。

相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。

第三单元分数的除法

分数除法涉及的概念是，它作为分数乘法的相反操作，旨在通过已知的乘积和其中一个乘数，来计算出另一个乘数。

二、在分数除法中，若要除以某个数（但该数不能为零），则可将其视为乘以该数的倒数。

1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。

在进行除法向乘法转换的过程中，必须确保被除数保持不变，同时将除号“÷”替换为乘号“×”，并将除数转换为它的倒数。

在进行分数除法运算时，若遇到小数或带分数，需先将它们转换为分数形式，包括假分数，然后再进行计算。

4、被除数与商的变化规律：

当除数b大于1时，商c必然小于被除数a。

将一个数除以一个小于1的数，得到的商将大于这个数本身：若a除以b等于c（前提是a不等于0，b也不等于0），则必有b小于a。

当除数b等于1时，商c将等同于被除数a；即a除以1的结果是a本身。

三、分数除法混合运算

1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。

2、运算顺序：

同级运算需按从左至右的顺序依次进行，亦可将所有除法转换为乘法后进行计算；或者采用“除以多个数，等同于乘以这些数的乘积”的简便方法来进行。加法和减法属于一级运算，而乘法和除法则属于二级运算。

在进行混合运算时，应遵循这样的顺序：首先处理无括号的运算，即先进行乘法和除法，然后进行加法和减法；若运算式中包含括号，则需优先计算括号内的内容，完成括号内的运算后再继续处理括号外的部分。

（a±b）÷c=a÷c±b÷c

第四单元比

比：两个数相除也叫两个数的比

在比式中，位于比号（∶）左侧的数值称为前项，而比号右侧的数值则被称为后项。比号在此处扮演着除号的角色，而比值则是通过将比的前项除以后项所得到的商。

连比如：3：4：5读作：3比4比5

2、所谓“比”，指的是两个数值间的关联，这种关系能够通过分数来展现，具体表现为分数的形式，其读法为“几比几”。

不得擅自更改专业术语，确保专有名词保持不变，对句子进行拆分，并适当调整用词和结构，以最大程度地避免与原文重复。同时，保持原有的语言风格，删除最前面的序号，并确保不遗漏任何标点符号。

在比较中，我们需要明确“比”和“比值”这两个概念的区别。比值指的是一个具体的数值，它可以是分数形式，亦或是整数、小数。

比号代表的是一种数学表达，用以展现两个数值之间的关联，既可呈现为比的形式，亦能转换为分数的表示。

比的法则规定，若对比例中的前者和后者同时进行等比例的乘法或除法运算（零除外），那么所得的比例关系将保持不变。

4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。

（1）、用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

将两个分数的比值计算时，可以采取以下步骤：首先，将这两个分数的前项和后项分别与它们分母的最小公倍数相乘；接着，按照化简整数比的方法进行化简。此外，还可以先求出这两个分数的比值，然后将它转换成比的形式表示。

在比较两个小数时，若要将它们的比例关系进行转换，首先需要将这两个小数分别转换成整数形式，然后再进行比值的计算。具体操作是，将小数点向右移动，直至所有的小数位都变为整数。

将比号改写为除号进行计算，得出的结果为数值（或分数形式），这实际上代表的是商，而非比值本身。

6、比和除法、分数的区别：

除法运算中，被除数通过除号（÷）与除数（除数不得为零）相除，遵循商不变的性质，从而得到结果。

分数由分子和分母构成，其中分子位于分数线之上，分母位于分数线之下，且分母不得为零。分数具有其基本性质，它代表了一个数。

在数学中，我们使用比号（∶）来表示前项与后项之间的关系，其中后项不可为零。这种比较方式遵循比的基本性质，用以表达两个数值间的相互联系。

商不变原理表明，若被除数与除数同时进行相乘或相除的运算，且运算的数为非零数，那么计算出的商值将保持不变。

分数的固有特性在于，当分子和分母均被相同的数值相乘或相除（0不可作为除数）时，该分数的数值将保持不变。

分数除法和比的应用

1、已知单位“1”的量用乘法。

2、未知单位“1”的量用除法。

3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）

（1）甲是乙的几分之几？

甲＝乙×几分之几 乙＝甲÷几分之几 几分之几＝甲÷乙

（2）甲比乙多（少）几分之几？

按一定比例进行划分：将某个数量依照既定的比率进行分摊，这种分配方式即称为按比例分配。

5、画线段图：

确定单位“1”的具体数值，首先绘制出该单位，并明确标注出已知与未知的信息。

（2）分析数量关系。（3）找等量关系。（4）列方程。

两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。

第五单元圆

一、圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。

经过多次折叠，圆的折痕在圆的中心点交汇，这个点就是圆心。圆心的位置确定了整个圆的具体位置。

圆心至圆周任一端点的直线段被称为半径，同一圆内存在无数条这样的半径，并且这些半径的长度都是相同的。半径的长度决定了圆的大小。

圆的直径d定义为穿过圆心并连接圆周上两点的线段。在同一个圆中，可以找到无数条这样的直径。值得注意的是，这些直径的长度都是相同的。直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或   r=d÷2

同心圆是指那些圆心位置相同但半径不同的圆。当两个或多个圆的半径相等时，它们便构成了等圆。这些等圆经过平移操作后，能够完全重叠在一起。

圆属于轴对称图形类别：若某图形沿一条直线进行对折，其两侧部分能够完全吻合，则该图形可称为轴对称图形。而那条形成折痕的直线，则被称作对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二条对称轴的图形：长方形

有三条对称轴的图形：等边三角形

有四条对称轴的图形：正方形

有无条对称轴的图形：圆，圆环

6、画圆

圆规的两脚间距正好等于圆的半径长度。绘制圆形的步骤包括：首先确定半径长度，接着标记圆心位置，最后旋转圆规一周。

二、圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

圆的周长与直径的比例恒定不变，这个数值被称为圆周率，并且用希腊字母π来表示。

即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14

因此，圆的周长等于直径乘以圆周率，即周长公式为c=πd；同时，也可以用半径表示，即c=2πr。

圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

周长的变化规律可以这样描述：当半径增加若干倍时，直径也会相应地增加相同的倍数；同时，周长的增长倍数与半径和直径的增长倍数保持一致。

4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d

三、圆的面积s

1、圆面积公式的推导

将圆沿其直径等分出若干部分，随后将这些部分剪开并重新拼接，形成长方形，随着分割份数的增加，拼接而成的图形将愈发贴近长方形的形状。

圆的半径=长方形的宽

圆的周长的一半=长方形的长

长方形面积=长×宽

所以：圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）

S圆 =πr×r=πr2

在面积相同的前提下，圆形的周长是最小的，而长方形的周长则是最大的；相反，当周长相同的时候，圆形的面积会达到最大，而长方形的面积则会变得最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

圆的面积变化遵循一定规律：当半径增加若干倍时，直径和周长也会相应地增加同样的倍数；而圆面积的增长倍数则是半径和直径增长倍数的平方。

4、环形面积 =大圆–小圆=πR2-πr2

扇形面积=πr2×n÷360（n表示扇形圆心角的度数）

跑道周长系由两段半圆跑道合并而成的完整圆周长，以及两条直线跑道长度之和构成。鉴于两条直线跑道长度相等，故而不同跑道的起跑线位置各异，相邻跑道之间的间距计算公式为：2乘以圆周率π乘以跑道宽度。

一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。

任意正方形的内切圆直径等同于该正方形的边长，而此内切圆，即最大圆，其面积与正方形面积之比为4比π。

7、常用数据

π的值是3.14，因此2π等于6.28，3π则等于9.42，4π的结果是12.56，而5π则是15.7。

第六单元百分数（一）

百分数，亦称百分比或百分率，指的是一个数值相对于另一个数值的百分比关系。它用以表达两个数之间的比例关系，且在表示时不能附带任何单位。

请注意，百分数是一种特定的表示方法，用于展示两个数值之间的特定倍数关系。

1、百分数和分数的区别和联系：

（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。

意义各异：百分数仅用以表达倍数关系，不涉及具体数值，因此不宜附上单位。而分数不仅能体现倍数关系，还能附带单位来指示具体数值。在百分数中，分子可以采用小数形式，但在分数中，分子则必须为整数。

注意：在日常生活中，百分数的使用非常普遍，其涉及的问题与分数问题相似。然而，分母为100的分数并不等同于百分数。实际上，只有将分母表示为“%”符号，才能称之为百分数。因此，认为“分母是100的分数即为百分数”的观点是错误的。此外，百分号“%”中的两个零应保持小写，以免与百分数前面的数字相混淆。通常情况下，出勤率、存活率、达标率、准确率都能达到百分之百，而产米率、产油率则无法达到百分之百，完成度和增长幅度等指标有时甚至可以超过百分之百。通常，制粉率大约在70%到80%之间，而制油率则大约在30%到40%之间。

2、小数、分数、百分数之间的互化

（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。

（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。

将百分数转换为分母为100的分数形式，接着将其化简为最简分数。

将分数转换为百分数的方法是：先将分子除以分母，得到一个数值，若无法整除则保留至小数点后三位，之后将此数值转换为百分数形式。

将小数形式的分数，其分母为10、100、1000等，进一步进行化简处理。

（6）分数化小数：分子除以分母。

二、百分数应用题

计算普遍的百分比，例如：达到标准的比例、合格的比例、存活的比例、发芽的比例、出勤的比例等。计算百分比，即是确定一个数值占另一个数值的百分比是多少。

在日常生活中，当我们需要表达一个数相对于另一个数增长或减少的百分比时，人们习惯于使用“增加了多少百分比”、“减少了多少百分比”或“节省了多少百分比”等说法来描述这种增减的幅度。

求甲比乙多百分之几：（甲-乙）÷乙

求乙比甲少百分之几：（甲-乙）÷甲

3、求一个数的百分之几是多少。一个数（单位“1”）×百分率

4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

部分量÷百分率=一个数（单位“1”）

5、折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十

折扣、成数=几分之几、百分之几、小数

八折=八成=十分之八=百分之八十=0.8

八五折=八成五=十分之八点五=百分之八十五=0.85

五折=五成=十分之五=百分之五十=0.5=半价

6、利率

（1）存入银行的钱叫做本金。

（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。

（3）利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%

注：国债和教育储蓄的利息不纳税

7、百分数应用题型分类

（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%=百分之几

（2）求甲比乙多百分之几——（甲-乙）÷乙×100%

（3）求甲比乙少百分之几——（乙-甲）÷乙×100%

第七单元扇形统计图的意义

扇形统计图所展示的内涵在于，它通过整个圆的面积来代表整体数值，而圆内的各个扇形面积则用来体现各部分与整体之间的关联，具体表现为各部分数值占整体数值的比例，因此，这种图表也被称作百分比图。

2、常用统计图的优点：

（1）条形统计图直观显示每个数量的多少。

折线统计图不仅能直观地反映出数量的增减趋势，而且能够明确地展示出各个数量的大小。

（3）扇形统计图直观显示部分和总量的关系。

第八单元数学广角--数与形

2加4等于6，6加6等于12，12加8等于20，20加10等于30，30加12等于42，42加14等于56，56加16等于72，72加18等于90，90加20等于110。

规律：从2开始的n个连续偶数的和等于n×(n＋1)。

10×(10＋1)＝10×11＝110

从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。