一次函数在生活中的应用及二次函数定义与常用公式详解

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

在水池抽水速率f保持恒定的情况下，水池内的水量g会随着抽水时间t的增加而呈现线性关系。假设水池起初的水量为S，那么当前水量g可以表示为S减去f乘以t。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

求取任意线段的长度，可通过计算平方根得出，即取(x1-x2)的平方与(y1-y2)的平方之和的平方根（注：此处指的是根号下的(x1-x2)的平方与(y1-y2)的平方之和）。

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c均为常数，且a不等于零，其中a的值决定了函数的形状。当a大于零时，函数的开口朝上。)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)’2+k

抛物线的顶点P(h，k)

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)

仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

在解一元二次方程时，系数h的值可以通过将-b除以2倍的a得到，即h等于负b除以2a；而x的解则可以通过将-b加减开方后的b的平方减去4ac的结果，再除以2a来求得，即x等于负b加减根号下b的平方减去4ac，最后再除以2a。

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

若-b除以2a等于零，则点P位于y轴；而若判别式b的平方减去4ac等于零，则点P将落在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b’2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2-4ac

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

即ax’2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二次函数的图像，无论是y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，还是y=ax²+bx+c（其中a不等于0），它们的形状都是一致的，只是所处的位置有所差异。下面是这些函数图像的顶点坐标和对称轴的详细列表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=ax’2

(0，0)

x=0

y=a(x-h)’2

(h，0)

x=h

y=a(x-h)’2+k

(h，k)

x=h

y=ax’2+bx+c

(-b/2a，

4ac-b’2

/4a)

x=-b/2a

当h大于零时，曲线y等于a乘以(x减去h)的平方可以通过将抛物线y等于ax的平方沿x轴向右平移h个单位长度来获得。

当h

当h大于0且k大于0的情况下，我们需要将抛物线y=ax^2向右平移h个单位距离，紧接着再向上平移k个单位距离，这样操作后，就能得到新的抛物线y=a(x-h)^2+k的图形。

当h>0,k

当h0存在时，需将抛物线沿x轴向左平移|h|的距离，随后再沿y轴向上平移k的距离，从而得到y=a(x-h)²+k这一方程所对应的图形。

当h

研究抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图形，我们可以通过配方的方法，将其一般式转换为y=a(x-h)²+k的形式，从而确定其顶点坐标和对称轴。这样一来，抛物线的大致位置也就一目了然了，这无疑为绘制图形带来了便利。

a不等于零的二次函数y等于ax的平方加bx加c的图像特点如下：若a大于零，其开口朝上；而若a小于零，则开口朝下。

3.对于抛物线方程y=ax²+bx+c（其中a不等于0），若a的值大于0，那么当x的取值小于或等于-b除以2a时，y的值会随着x的增加而减少；而当x的取值大于或等于-b除以2a时，y的值则会随着x的增加而增加。如果a的值小于0，情况则恰好相反。

4.抛物线y=ax’2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

若判别式等于b的平方减去4ac大于零，那么该方程的图像将与x轴相交于两个点，这两个点分别是A(x1，0)和B(x2，0)，其中x1和x2是该一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根。

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当=0.图象与x轴只有一个交点;

当数值为0时，图像位于x轴之上；对于任意的实数x，y值始终大于0；当a

5.抛物线y=ax’2+bx+c的最值：如果a>0(a

顶点的横轴坐标代表了达到极值时的自变量数值，而顶点的纵轴坐标则表示了极值的具体数值。

6.用待定系数法求二次函数的解析式

若题目所给条件是图像经过三个已知的点，或者已知x、y坐标的三组对应值，那么我们可以设定解析式采用其一般形式。

y=ax’2+bx+c(a≠0).

若题目提供了已知图像的顶点坐标或对称轴信息，我们可以设定解析式采用顶点形式：y等于a乘以括号内x减去h的平方再加k（其中a不等于零）。

若题目中已知图像与x轴的交点坐标，则可以设定解析式为两个根的乘积形式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a不等于零。

二次函数的相关内容往往能与其他学科知识有效结合，从而创造出结构较为繁杂的综合题型。正因为如此，以二次函数为核心的综合题型在中考中备受关注，通常以较难题目的形式呈现。

反比例函数

形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

反比例函数是奇函数的一种，它满足性质f(-x)等于-f(x)，因此其图像在原点处呈现出对称性。

此外，通过反比例函数的解析形式可知，在反比例函数的图形上任意选取一个点，并分别向x轴和y轴引垂线，那么该点、两个垂足以及原点所构成的矩形面积将保持不变，其值为绝对值k。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

在反比例函数的图象上，选取任意一点，并从该点向两个坐标轴分别作垂线，这两条垂线与坐标轴共同构成一个矩形，该矩形的面积等于绝对值|k|。

对于双曲线方程y等于k除以x，如果在x的分母部分加上或减去任意一个实数（即y等于k除以x加减m，其中m是一个常数），这会导致双曲线的图像在水平方向上发生平移。具体来说，当在分母上加上一个数时，图像会向左移动一个单位；而当减去一个数时，图像则会向右移动一个单位。

对数函数

对数函数的标准表达方式是，这实际上可以看作是指数函数的逆映射。由此可知，指数函数中对基数a的设定，同样适用于对数函数领域。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

观察可知，对数函数的图像实际上是指数函数图像在直线y=x上的镜像，这源于它们是彼此的反函数关系。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

当a的值超过1时，该函数呈现单调上升的趋势，同时具有上凸特性；而当a的值介于0与1之间时，函数则表现为单调下降，并且呈现下凹状态。

(5)显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的通式呈现，如前所述，我们对幂函数的探讨已表明，若要确保x的取值涵盖所有实数，那么就必须确保

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

指数函数的适用范围涵盖了所有实数，但这一前提是基数a必须大于零。若a的值不满足大于零的条件，那么该函数将无法在定义域中找到连续的区间，故此类情况不予探讨。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

若a的值超过1，指数函数将呈现单调上升的趋势；而若a的值介于0与1之间，指数函数则会呈现单调下降的特性。

观察可知，随着a值从零逐渐无限增大（但需注意a不能为零），该函数的图形轨迹会经历一个显著的变化：起初，它位于一个单调递减的函数区域，该区域的两端分别无限接近Y轴的正半轴和X轴的正半轴；随后，轨迹逐渐移动至另一个单调递增的函数区域，此时两端分别无限接近Y轴的正半轴和X轴的负半轴。在这一过程中，水平线y=1扮演了一个关键的过渡角色。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

(7)函数总是通过(0，1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性