第十六章分式：分式概念、性质及通分约分要点解析

第十六章分式

一、分式

若A与B均为整式，且B中包含字母，则该式子为分式。

所谓的分式，其成立的前提是分母不能为零；而当分式的值为零时，必须满足分子为零且分母不为零的条件。

分式性质的核心在于，若将分式的分子和分母同时乘以或除以一个非零的整式，该分式的数值将保持不变。这一性质可以通过以下公式来体现：

（C≠0）其中A,B,C是整式

最简公分母是指，通过取各分母包含的所有因式的最高次幂，并将这些最高次幂相乘得到的积，这个积便被称作最简公分母。

将分子和分母同时乘以最简公分母，这样做不会影响分式的数值，进而能够将若干个整式转换成具有相同分母的分式。这一操作被称作通分。如果分母是多项式，那么需要先对其进行因式分解。

5.约分操作涉及消除分子与分母中的共同因子，这一步骤旨在保持分式的数值不变，该过程被称作约分。

二、分式的运算

分式相乘时，应将分子相乘得到新的分子，而分母相乘则构成新的分母。

分式除法规则表明，在执行分式除法运算时，应将除数的分子和分母互换位置，随后与被除数进行相乘运算。

上述法则可以用式子表示：

3. 分式乘方法则：一般地，当n为正整数时

这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减运算规则是：当分式具有相同的分母时，我们保持分母不变，仅对分子进行加法或减法操作。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

上述法则可用以下式子表示：

5．整数指数幂

任何一个不等于0的数的0次幂等于1，即；

当n为正整数时，也就是说an(a≠0)是a-n的倒数。

正整数的指数幂运算规则同样适用于整数的指数幂运算（其中m和n均为整数）。

（1）同底数的幂的乘法：；

（2）幂的乘方：;

（3）积的乘方：；

（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；

（5）商的乘方：( n是正整数)；(b≠0)

三、分式方程

1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。

解分式方程的关键步骤在于，将方程的两边同时乘以一个整式，即最简公分母，以此将原本的分式方程转换成整式方程。然而，在执行这一操作时，最简公分母有可能为零，这会导致出现增根的情况。鉴于此，我们在解分式方程后，必须对根进行验证，以确保结果的准确性。

解分式方程的流程包括：首先对能够简化的部分进行化简，接着将方程的两边同时乘以最简公分母，使其转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后进行根的检验。

检验分式方程的解法如下：首先，将整式方程的解代入到分式方程的最简公分母中；其次，若最简公分母的结果不为零，那么这个解就是原分式方程的解；反之，若最简公分母的结果为零，则该解并非原分式方程的解。

四、列方程应用题

解答列方程应用题的流程包括：首先进行审题，接着设定未知数，然后列出方程，随后求解方程，最后给出答案。

2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：

行程问题涉及的基本公式是：距离等于速度乘以时间。在行程问题中，它又细分为相遇问题和追及问题两种类型。

(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．

(4)顺水行驶时的速度等于静水中的速度加上水流的速度，即v顺水等于v静水加v水。而逆水行驶时的速度则是静水中的速度减去水流的速度，即v逆水等于v静水减v水。

五、科学记数法：

将一个数字以特定的形式呈现，这种形式中n为整数，这种呈现方式被称为科学记数法。

在表示绝对值超过10的n位数时，科学记数法中的10的幂次应为n减去1。

在科学记数法中，若表示一个绝对值小于1的正小数，其10的指数等于该数第一个非零数字前零的个数所对应的负数，这包括小数点前的一个零。

第十七章反比例函数

一、反比例函数

通常情况下，当k为一个常数（且k不等于0）时，该函数被称为反比例函数。这种函数的解析式还可以表示为另一种形式。在此函数中，自变量x的值可以取所有实数，而函数的值则涵盖所有非零实数。除此之外，还可以用xy=k来表示反比例函数。

2．反比例函数的图象和性质

①图像：反比例函数的图像属于双曲线。

其图形与x轴以及y轴均无交点，意味着双曲线的两部分在无限接近坐标轴的过程中，却始终无法触及坐标轴。

性质方面，若k大于零，双曲线的两部分将分布在第一象限和第三象限，且在这些象限中，随着x值的增加，y值会逐渐减少；而若k小于零，双曲线的两部分则位于第二象限和第四象限，在这些象限中，随着x值的增加，y值则会相应地增大。至于|k|的几何含义，它指的是反比例函数图像上的任意一点到两个坐标轴所形成的垂线段，与这两个坐标轴所围成的矩形面积。具体来说，这个面积等于xy的乘积。

二、实际问题与反比例函数

在反比例函数中，仅存在一个待定系数k，故只需一对对应的数值或图像上的单一坐标点，便可计算出k（即K=xy）的具体数值，进而确定该反比例函数的解析表达式。通常情况下，我们会采用待定系数法来进行这一计算。

第十八章勾股定理

一、勾股定理

勾股定理：命题一指出，在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a的平方加上b的平方等于c的平方。

勾股定理的逆命题表明，若一个三角形的三边长度a、b、c满足a的平方加上b的平方等于c的平方，则该三角形为直角三角形。此外，经过验证并被认定为正确的命题被称为定理。

互逆命题是指将原命题中的题设与结论进行颠倒的两个命题。在这种情况下，若将其中一个命题称为原命题，则与之相对的命题则被称为其逆命题。（例如：勾股定理及其逆定理）

第十九章四边形

19.1平行四边行

19.1.1平行四边形的性质

平行四边形的定义是：任何四边形若其两组相对的边线均保持平行状态，则该四边形即被称为平行四边形。

平行四边形具有以下特性：首先，它的相对边长是相等的；其次，它的相对角也是相等的；再者，它的两条对角线彼此平分。

19.1.2平行四边形的判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线是指将三角形任意两边的中点相连形成的线段。这样的线段与三角形的第三边保持平行，并且其长度恰好是第三边长度的一半。特别地，在直角三角形中，斜边上的中线长度也恰好等于斜边长度的一半。

19.2特殊的平行四边形

19.2.1矩形

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的特性包括：首先，它的四个角均为直角；其次，矩形的两条对角线不仅相互平分，而且长度相等，即AC与BD的长度相同。

矩形判定定理指出，如果一个平行四边形中存在一个直角，那么它就是矩形；另外，如果一个平行四边形的对角线长度相等，那么它同样也是矩形；再者，如果一个四边形拥有三个直角，那么这个四边形也是矩形。

4．黄金矩形：宽和长的比是（约为0.618）的矩形叫做。

19.2.2菱形

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的特性包括：其四边长度相等；同时，菱形的两条对角线不仅相互成直角相交，而且每一条对角线都能将相邻的两个角各自平分。

菱形的判定条件包括：一组相邻的边长度相等的平行四边形即为菱形；平行四边形的对角线相互垂直时，该平行四边形也是菱形；若一个四边形的四条边长度均相等，则该四边形也是菱形。

S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

19.2.3正方形

1．正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2．正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。

正方形判定定理指出，若一个矩形的相邻两边长度相等，则该矩形即为正方形；同时，如果一个菱形中存在一个直角，那么这个菱形也就变成了正方形。

19.3梯形

1．梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2．直角梯形：有一个角是直角的梯形

3．等腰梯形：两腰相等的梯形。

等腰梯形的特性包括：其一，位于同一底边上的两个内角彼此相等；其二，该图形的两条对角线长度相等。

等腰梯形的判定定理指出，如果一个梯形的同一底边上的两个角相等，那么这个梯形就是等腰梯形。

6．解梯形问题常用的辅助线：如图

19.4课题学习重心

物体的质量中心被称为重心，它是一个维持物体平衡的关键点。具体来说，线段的重心位于其中心位置，即中点。而在平行四边形中，重心则位于两条对角线的交汇处。对于三角形，三条中线会在一个特定的点上相交，这个点正是三角形的重心所在。

第二十章数据的分析

20.1数据的代表

平均数分为加权平均数和算术平均数两种。加权平均数与算术平均数在计算方法上相似，但存在一个关键区别：数据中的每个数值对平均数的贡献并不一致，其中某些数值的影响大于其他数值。在统计学描述中，加权平均数扮演着至关重要的角色，并在其他数学分支中衍生出了更为广泛的应用形式。当所有权重相等时，加权平均数与算术平均数的结果是一致的。加权平均数作为算术平均数的更广义的表现形式

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的含义：它揭示了某项数据在整体数据中所占的关键比重。权重的确定并非直接提供具体数值，而是通过比率或百分比的形式呈现，并借助频数分布表来计算加权平均数。

20.1.2中位数和众数

将一组数据按大小顺序排列后，若数量为奇数，位于正中间的数值即为该组数据的中位数；若数量为偶数，则需取中间两个数的平均值，此平均值即为该组数据的中位数。

2.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

20.2.数据的波动

20.2.1极差

极差是指在一组数据中，最大数值与最小数值之间的差距。

20.2.2方差

方差的定义涉及一个用于衡量数据波动程度的数值s²，其具体计算方式可作如下表述：

备注：方差等于各数据与平均数的差的平方的平均数

方差数值增加，意味着数据波动幅度加大；反之，方差数值减小，则数据波动幅度减小，从而体现出更高的稳定性。