人教版七年级上册数学第一章有理数知识点总结

人教版七年级上册数学知识点总结

第一章有理数

1.1 正数和负数

⒈正数和负数的概念

小于零的数值称作负数，大于零的数值称作正数，零既不属于正数类别，也不属于负数类别

数字a能够代表任意数值，当a代表正数，取其相反数得到负数；当a代表负数，取其相反数变为正数；当a等于零，取其相反数依然是零。需要明确的是，带有正号的数未必是正数，带有负号的数也未必是负数，例如+a和-a就不能这样简单判定。

正数在部分情况下会在数字前加上“+”，在另一些情况下则省略这个符号。因此，当“+”被省略时，正数的标记形式就是正号。

2.具有相反意义的量

若某个数值代表特定含义的度量，那么其对应负值能够体现与之相悖的内涵，例如：

零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

零代表一个明确的数值。例如，零摄氏度，或者在特定题目里，把海平面当作参照点，那么零米就代表海平面的高度。

1.2 有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

整数，包括正整数、零和负整数，以及正有理数和负有理数，都可以表示为分数形式，这类数统称为有理数。

明白：能够表示为分数的数值属于有理数范畴。π属于无终止且不重复的十进制数，无法转化为分数，因而不属于有理数。有限小数以及无限循环小数均能转换为分数形式，均属于有理数。整数同样可以表示为分数，同样属于有理数。

负数出现之后，奇数和偶数的范畴随之扩展，-2、-4、-6、-8等依然是偶数，-1、-3、-5等则属于奇数。

3.数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

数轴是一条可以向两边无限延展的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三个基本要素，这三者都不能缺少；在同一个数轴上，单位长度必须保持一致；数轴的这三个基本要素都是根据实际要求来确定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

任何有理数都能对应数轴上的一个点，正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，零对应原点本身。

数轴上的每一个点都对应着某个有理数，不过并非所有数轴上的点都代表有理数，这说明有理数和数轴上的点之间不存在完全匹配的关系，例如圆周率这个点就不是有理数。

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

4.相反数

⒈相反数

两个数若仅符号各异，则互为反数，一个数即为另一个数的负版，零的负版仍是零。

两个数互为相反数时，它们会成对出现，这两个数仅符号存在差异，其中一个为正数，那么另一个必定是负数。

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

两个数若为对立数，它们的总和为零，总和为零的两个数必定是对立数，也就是说，若a与b是对立数，那么a加b的结果等于零

3.相反数的几何意义

数轴上到原点距离一样的两个点，所代表的数值是彼此的负值；互为负值的两个数，在数轴上的对应位置（0点除外）分布在原点的两侧，并且离原点的距离相等。0的负值就是原点本身；原点也代表0的负值。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

要找出某个数的反向数值，只需要在该数前加上负号符号“-”就能得到结果，比如数字5的反向数值为-5。

计算若干项的总和或差值的反数，需将各项用括号包围，随后在前面加上负号，最后进行简化（例如；5a+b的反数表示为-（5a+b），简化后成为-5a-b）；

需要先给单独的负数加上括号，再在括号前加负号，然后进行简化，例如，负五的相反数表示为负负五，简化后得到五

5.相反数的表示方法

通常情况下，数值a的对称值等于负a，这里a代表任何有理数值，它可能是正的数值，也可能是负的数值，甚至可能是零。

当a>0时，-a

当a0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

5.绝对值

⒈绝对值的几何定义

通常情况下，数轴上代表数值a的点离原点的间隔，被称为a的绝对值，用符号|a|表示。

2.绝对值的代数定义

一个正数的非负数值等于其本身；一个负数的非负数值等于其相反元素；零的非负数值为零。

可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；②如果a

可以总结为：a大于等于零，a的绝对值等于a，非负数的绝对值就是它本身，绝对值等于它本身的数都是非负数。

a小于或等于零，a的绝对值等于它的相反数，a的绝对值等于它的相反数的数属于非正数范围。

经典考题

如数轴所示，化简下列各数

a的绝对值，b的绝对值，c的绝对值，a与b的差值的绝对值，a与c的差值的绝对值，b与c的和值的绝对值

解：由题知道，因为a>0 ，b0, a-c>0, b+c

因此绝对值a等于a, 绝对值b等于负b, 绝对值c等于负c, 绝对值a减b等于a减b, 绝对值a减c等于a减c, 绝对值b加c等于负b减c

3.绝对值的性质

任何有理数的绝对值都不会是负数，这表明绝对值具有非零特性。因此，无论a代表哪个有理数，它的绝对值都大于等于零。具体来说，零的绝对值等于零；而绝对值等于零的数也仅限于零本身。换言之，当a等于零时，|a|也等于零。

一个数的绝对值必定是正数或零，其中绝对值最为微小的数即为零。换言之，任何数的绝对值都不会小于零，绝对值最小值为零。

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

绝对值相等的两个数存在，它们彼此是对方的负数关系。举例来说，假如一个数的绝对值等于某个正数a，那么这个数可能是a，也可能是-a。

两个数如果符号完全相反，那么它们的绝对值数值上相等。举例来说，负数a的绝对值和正数a的绝对值一样大。或者，如果两个数相加结果为零，那么这两个数的绝对值必然相等。

两个数的绝对值如果一样大，那么这两个数要么完全相同，要么是彼此的负数关系。也就是说，如果a的绝对值等于b的绝对值，那么a就等于b，或者a就是b的相反数。

若若干个数的绝对值相加结果为零，那么这些数全部都是零。举例来说，如果绝对值a加上绝对值b等于零，那么a和b都必须等于零。

非负数有个显著特点，几个非负数的总和如果等于零，那么这些非负数中每一个都必须等于零

经典考题

绝对值表达式a加三加上二b减二的绝对值再加上c减一的绝对值等于零,需要确定a加b加c的总和是多少

解：由于绝对值结果总是非负数，因此a加三的绝对值大于等于零，两倍b减二的绝对值大于等于零，c减一的绝对值大于等于零，并且这三个绝对值的和等于零，所以a加三的绝对值必须为零，两倍b减二的绝对值也必须为零，c减一的绝对值同样为零，进而得出a加三等于零，两倍b减二等于零，c减一等于零

所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0

即a=-3 ,b=1 ,c=1

所以a+b+c=-3+1+1=-1

4.有理数大小的比较

借助数轴可以判断两个数值的相对大小，位于左侧的数值始终小于右侧的数值，这个原则是普遍适用的。

比较两个负数的大小，借助绝对值判断，数值越大的负数，实际值越小；正数与负数相比，正数总是更大。

5.绝对值的化简

①当a≥0时， |a|=a ；②当a≤0时， |a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

数a的绝对值等于数轴上代表数a的点与原点的间隔，通常情况下，绝对值等于某个正数的所有有理数包含两个，它们是彼此的负数，绝对值等于零的数是零，不存在绝对值等于负数的数。例如：|a|等于5，那么a等于正负五

1.3 有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

两个符号不同且数值不一样的数相加时，要选用数值较大的那个数的符号，然后把数值较大的绝对值减去数值较小的绝对值。

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

进行运算时，务必依据情况机动调整，以实现简化效果，一般遵循这些原则：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加上一个正数，所得结果会超过原来的数；一个数加上一个负数，所得结果会小于原来的数；一个数加上零，所得结果与原来的数相等。

⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b

4.有理数减法法则

去掉一个数值，等于加上那个数值的负数。用符号表达出来就是：a减去b，相当于a加上b的相反数。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数进行加减混合运算时，依据有理数减法的相关规则，能够将减法运算转换成加法运算，然后再依照加法的相关规则来实施计算。

在加法表达式中，一般会省略每个加数的括号以及其前方的加号符号，转而采用省略加号的写法呈现和式整体。例如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

这个表达式读作：负8, 负7, 负6, 正5, 它们加起来的总和

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

负三十三,加上十八,减去十五,减去一,加上二十三

=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）

负三十三减去十五再减去一，加上十八加上二十三，先把减去的数算出来，再把加上的数算出来

=-49+41 （运用加法法则一进行运算）

=-8 （运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法）

增加六点六，减去五点二，加上三点八，减去二点六，再减去四点八

原式等于六点六加上负五点二，再加上三点八，接着减去二点六，最后减去四点八

六点六减去五点二，再加上三点八，然后减去二点六，最后减去四点八

等于四点加负十点零加三点八

=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）

=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2 （得出结论）

1.4有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

两个数相乘时，相同符号的结果为正，不同符号的结果为负，同时取它们的绝对值相乘；这种规则仅适用于两个因数相乘的情况，如果因数数量超过两个，则需要使用第三条法则

法则二：任何数同0相乘，都得0；

乘法规则第三条说明，若干个非零数相乘，若负数因子数量为偶数，最终结果为正；若负数因子数量为奇数，最终结果为负。

法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

3.有理数的乘法运算律

两个数相乘，其因数的次序可以互换，所得的乘积仍然相同。例如，a与b相乘，b与a相乘，结果一致。

乘法结合律规定，三个数进行乘法运算时，可以先计算前两个数的乘积，也可以先计算后两个数的乘积，最终得到的乘积结果是一样的。用数学公式表示就是，对于任意三个数a、b和c，它们相乘的结果不受运算顺序的影响，即(ab)c与a(bc)相等。

乘法分配律通常是这样，一个数同两个数的和进行乘法运算，相当于将这个数分别与这两个数相乘，然后把所得的乘积加在一起，也就是a乘以b加c，等于a乘以b加上a乘以c

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

两个数相除，若符号相同，则结果为正，若符号不同，则结果为负，同时取这两个数的绝对值进行相除。零除以任何一个不等于零的数，结果都是零。

5.有理数的乘除混合运算

计算乘除混合式子时，通常先要把除法变成乘法，接着确定最终乘积的符号，最后才能得出答案。

进行有理数的混合运算时，如果未明确指出运算顺序，应遵循特定规则,先执行乘除运算,再处理加减运算。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3.有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

先计算括号里的内容，按照小括号，中括号，大括号的顺序来执行。

第二章整式的加减

2.1整式

代数表达式的定义是将数字和符号通过基础运算方法组合起来的式子，例如n，-1，2n加500，abc等。单个的数值或者字符也可以被视为代数表达式。

数与字母相乘形成的代数表达式称为单项式，单个数值或单个字符同样属于代数表达式。

单项式的系数：单项式中的数字因数

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

多项式由若干个单项式相加构成。构成多项式的每一个部分称为多项式的一项。其中不含任何字母的那一项被称为常数项。

多项式中项数最多的那一项的指数，就是这个多项式的指数级别。数值固定的项，其指数级别是零。

整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

代数式书写规范：

数字能够省略地书写在字母之前,字母与字母之间的乘法运算可以不明确标示,或者借助点号来示意,字母与字母的乘积符号也可以省略。

②出现除式时，用分数表示；

③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；

如果计算得到的是涉及加法或减法的表达式，并且其后附有计量单位，那么必须用括号将整个表达式完整地框起来。

2.2整式的加减

1合并同类项

同类项是指具有相同字母组成，且每个字母的次数都一样的单项式。

同类项的合并规则是，将它们的数值系数进行相加，所得数值作为新的系数，而字母及其指数保持原样不变。

合并同类项的步骤：

（1）准确的找出同类项；

（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；

（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

（4）写出合并后的结果。

2去括号的法则

括号左侧为“加号”，移除括号及左侧的“加号”，括号内各项正负号维持原状。

括号前面是减号，需要将括号和减号一并移除，括号内各项的正负号都要进行调整。

整式的加减运算，应当首先处理括号部分，然后进行同类项的合并步骤。

多项式加减的流程：首先写出数学表达式，接着消除括号，最后把性质相同的项加在一起。

第三章一元一次方程

一种方程式，里面只有一个变量，并且这个变量的方次为1，就称为一元一次方程。它的标准写法是ax+b等于零，其中a不等于零。

分母中若含有未知数，则该未知数的指数不应视为一次方，这种情况不属于一元一次方程。

3.2解一元一次方程

方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

等式具有以下特点：若在等式两边同时增加或减少某个数值，或者某个代数式，等式关系依然成立。

等式两边同乘一个非零数，等式依然成立，同除一个非零数，等式也依然成立。

移项

某些项在方程中变换正负号之后，能够从方程的一侧转移到另一侧，这种操作称为移项。

变换位置的基础，在于对等式两端实施相加或相减，这一操作遵循等式规则的第一条；将数字因数调整为单一数值，意味着对等式两端进行相乘或相除，这一步骤依据等式规则的第二条。

移项的目的在于，通常将涉及未知数的部分移至等式左侧，而将固定数值移至右侧，以便左侧统一同类项，右侧也统一同类项。

注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

解一元一次方程通常要经过以下环节：首先需要消除分母，接着去掉括号，然后进行移项操作，再合并同类项，最后将未知数的系数变为1。

在进行分母约去操作时，不能遗漏那些原本不带分母的项，这些项需要单独处理。当分母带有括号时，去掉分母后，如果分子部分是由多个项组成的表达式，必须给分子加上括号，以保持原有的运算关系。

3.3方程解决问题

解一元一次应用题的要点包括，仔细理解题目内容，确定所求的未知量，构建相应的数学表达式，求解该表达式，并给出最终解答。其中核心环节在于识别题目中涉及的数值间的平衡关系，并以此为基础建立方程式。

解决疑难的方法：借助清单和图示来剖析现实情形里的数量关联

实际问题的常见类型：

（衡量距离的标尺为米或千米，计算时刻的单位有秒、分和时，表述快慢的指数涵盖米每秒、米每分以及千米每小时）

工程难题在于，整体任务量等于劳动时段乘以劳动效能，整体任务量也等于所有独立任务量的累计总和

体积计算规则：长方体空间等于长乘以宽再乘以高，圆柱空间等于底面大小乘以高，加工前材料占据的体积等于加工后材料占据的空间

利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率

第四章几何图形初步

4.1几何图形

1.立体图形与平面图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

几何体：部分形状构造不在一个平面上，属于几何体。

某些几何构造的各个组成都在一个平面之中，它们属于平面构造。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

4、棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

长方体拥有两个相等的底面，若干个侧面，合计（底面数量加2）个面；存在若干条棱，其中侧面之间有若干条侧棱；并且有若干个顶点。

长方体的所有侧边长度一致，长方体的顶部和底部是相等的多边形，直长方体的面是矩形。长方体的面可能是矩形，也可能是平行四边形。

5、正方体的平面展开图：11种

用某个平面去切割一个正方体，切割形成的截面可能是三角形，也可能是四边形，还可能是五边形或者六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。